Discussion:
Le problème associé aux conjectures et aux postulats non démontrables
(trop ancien pour répondre)
Emphyrio
2018-05-24 07:21:24 UTC
Permalink
Raw Message
Supposons que je décide de postuler à l'instar de Bertrand qui affirma
qu'il y a toujours un nombre premier entre un entier n et 2n (démontré
par la suite), qu'il en va de même entre n et (4/3)n lorsque n > 8 ?.

Est-il possible de démontrer simplement que mon postulat matinal est
faux ou bien alors puisqu'il semble faire mieux que celui de Bertrand
est-il digne d'entrer dans les livres histoire ?


On sait que toute science repose sur un certains nombre d'axiomes,
postulats et autres conjectures... Qu'arrive-t-il lorsqu'il est
impossible de démontrer qu'un postulat ou une conjecture est vrai ou
faux ? Faut-il en conclure que la science que l'on a bâtit et que les
conclusions qu'on en tire sont fausses ? Certains répondront
probablement que l'on doit valider et exploiter ces résultats jusqu'au
jour où les faits se trouveront en contradiction avec eux. C'est une
approche sensée mais le jour où ce malheureux événement arrive comment
fait on pour invalider un ou plusieurs éléments d'une théorie qui
justement lorsqu'ils sont pris isolement ne peuvent pas l'être ?

Faut-il se résoudre à rejeter l'ensemble de la science ainsi construite
ou faut-il ajouter un nouveau postulat et/ou remplacer tel autre morçeau
qui "ne convient plus" sans en avoir la preuve alors que le nouvel
élément ajouté est lui même susceptible d'avoir le même défaut de
conception ? On conçoit que très vite on peut être amené à construire
une science certes auto-cohérente mais qui n'est qu'une figuration très
approximativement du réel donnant des "résultats" que pour les
phénomènes qui nous importe et nous sont accessibles à une époque donnée
mais qui n'est en rien le "reflet" ou le signe d'une compréhension de la
vraie nature du réel.


M.A
robby
2018-05-24 08:29:00 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Emphyrio
On sait que toute science repose sur un certains nombre d'axiomes,
postulats et autres conjectures... Qu'arrive-t-il lorsqu'il est
impossible de démontrer qu'un postulat ou une conjecture est vrai ou
faux ? Faut-il en conclure que la science que l'on a bâtit et que les
conclusions qu'on en tire sont fausses ?
euh, tu mélange tout.
Par définition, un postulat ne se démontre pas: c'est une base admise,
formant avec d'autre un système formel. Tout ce qu'on lui demande est de
ne pas entrainer de contradiction dans ce système.

alors qu'une conjecture est une affirmation en attente de demonstration
(ou de contre-exemple). Dans un système formel donné certaines sont
vraies, certaines sont fausses, certaines sont indécidables.
Post by Emphyrio
Faut-il se résoudre à rejeter l'ensemble de la science ainsi construite
on parle ici uniquement de maths.

par ailleurs les différents systèmes formels des maths sont basés sur
extrêmement peu de postulats, dont tu jugerais la plupart totalement
évidents (mais pas tous).
Post by Emphyrio
On conçoit que très vite on peut être amené à construire
une science certes auto-cohérente mais qui n'est qu'une figuration très
approximativement du réel
encore une fois, on parle ici de maths et non de sciences. Les maths
sont un monde clos. C'est juste que quand la science passe par des
modèles mathématisés, on peut réutiliser le langage des maths.
Mais les maths qu'on utilise pour la physique n'ont rien a voir avec les
maths pures échevelées qui conduisent a des indécidables ou qui
nécessites des postulats exotiques.
--
Fabrice
Bruno Ducrot
2018-05-24 15:43:37 UTC
Permalink
Raw Message
["Followup-To:" header set to fr.sci.maths.]
Post by robby
Post by Emphyrio
On sait que toute science repose sur un certains nombre d'axiomes,
postulats et autres conjectures... Qu'arrive-t-il lorsqu'il est
impossible de démontrer qu'un postulat ou une conjecture est vrai ou
faux ? Faut-il en conclure que la science que l'on a bâtit et que les
conclusions qu'on en tire sont fausses ?
euh, tu mélange tout.
Par définition, un postulat ne se démontre pas: c'est une base admise,
formant avec d'autre un système formel. Tout ce qu'on lui demande est de
ne pas entrainer de contradiction dans ce système.
Pas en mathématiques. Un postulat se distingue de l'axiome au sens où
l'axiome est un élément fondamental d'un système formel. Ce n'est pas
forcément le cas du postulat.

Celà dit, le postulat se distingue aussi de la conjecture car l'on
énonce un postulat pour "démontrer" un résultat que l'on estime plus
important que le postulat.
Je met en guillemet pour signaler que si le postulat est démontré par
la suite, alors la proposition "remarquable" devient un théorème.

Ce n'est pas le cas de la conjecture qui, en général, est une assertion
ayant un intérêt mathématique.

Pour le postulat de Bertrand, je cite :
<cite>
Pour démontrer cette proposition, j'admettrai comme un fait que, quel
que soit un nombre n supérieur à 6, il existe toujours un nombre
premier, au moins, compris entre n - 2 et n/2. Cette proposition est
vraie pour pour tous les nombres inférieurs à six millions, et tout
porte à croire qu'elle est générale. Quoi qu'il en soit, notre
démonstration s'appliquera au moins à toutes les fonctions dont le
nombre de lettres sera inférieur à cette limite.
</cite>

Même si Bertrand ne le dit pas, on a bien affaire à un postulat, et
non à une conjecture (de mon point de vue, en tout cas).
Post by robby
alors qu'une conjecture est une affirmation en attente de demonstration
(ou de contre-exemple). Dans un système formel donné certaines sont
vraies, certaines sont fausses, certaines sont indécidables.
Post by Emphyrio
Faut-il se résoudre à rejeter l'ensemble de la science ainsi construite
on parle ici uniquement de maths.
par ailleurs les différents systèmes formels des maths sont basés sur
extrêmement peu de postulats, dont tu jugerais la plupart totalement
évidents (mais pas tous).
Non. Des axiomes. Un postulat, comme je l'ai souligné n'est pas un
axiome. Il peut arriver qu'un postulat devienne, dans certaines
circonstances un axiome, mais c'est rare.
Post by robby
Post by Emphyrio
On conçoit que très vite on peut être amené à construire
une science certes auto-cohérente mais qui n'est qu'une figuration très
approximativement du réel
encore une fois, on parle ici de maths et non de sciences. Les maths
sont un monde clos. C'est juste que quand la science passe par des
modèles mathématisés, on peut réutiliser le langage des maths.
Mais les maths qu'on utilise pour la physique n'ont rien a voir avec les
maths pures échevelées qui conduisent a des indécidables ou qui
nécessites des postulats exotiques.
Cela dit, tout ce que je viens d'écrire est du jargon de mathématiciens.
Je suppose que d'autres disciplines définissent autrement les termes employés.
Par exemple, je ne serais pas surpris qu'un postulat, en physique, n'ait
pas le même sens qu'un postulat, en mathématiques. De même, il me semble
que les physiciens parlent plutôt de principes et non d'axiomes.
--
Bruno Ducrot

A quoi ca sert que Ducrot hisse des carcasses ?
dragonball
2018-05-24 16:31:38 UTC
Permalink
Raw Message
Post by robby
Post by Emphyrio
On sait que toute science repose sur un certains nombre d'axiomes,
postulats et autres conjectures... Qu'arrive-t-il lorsqu'il est
impossible de démontrer qu'un postulat ou une conjecture est vrai ou
faux ? Faut-il en conclure que la science que l'on a bâtit et que les
conclusions qu'on en tire sont fausses ?
euh, tu mélange tout.
Par définition, un postulat ne se démontre pas: c'est une base admise,
formant avec d'autre un système formel. Tout ce qu'on lui demande est de
ne pas entrainer de contradiction dans ce système.
alors qu'une conjecture est une affirmation en attente de demonstration
(ou de contre-exemple). Dans un système formel donné certaines sont
vraies, certaines sont fausses,  certaines sont indécidables.
Post by Emphyrio
Faut-il se résoudre à rejeter l'ensemble de la science ainsi construite
on parle ici uniquement de maths.
par ailleurs les différents systèmes formels des maths sont basés sur
extrêmement peu de postulats, dont tu jugerais la plupart totalement
évidents (mais pas tous).
Post by Emphyrio
On conçoit que très vite on peut être amené à construire une science
certes auto-cohérente mais qui n'est qu'une figuration très
approximativement du réel
encore une fois, on parle ici de maths et non de sciences. Les maths
sont un monde clos. C'est juste que quand la science passe par des
modèles mathématisés, on peut réutiliser le langage des maths.
Mais les maths qu'on utilise pour la physique n'ont rien a voir avec les
maths pures échevelées qui conduisent a des indécidables ou qui
nécessites des postulats exotiques.
Est ce que la charte dit qu'on doit parler de mathématiques purs et
d'ailleurs où est la limite entre sciences et mathématiques ?
Bruno Ducrot
2018-05-24 18:08:29 UTC
Permalink
Raw Message
Post by dragonball
Post by robby
Post by Emphyrio
On sait que toute science repose sur un certains nombre d'axiomes,
postulats et autres conjectures... Qu'arrive-t-il lorsqu'il est
impossible de démontrer qu'un postulat ou une conjecture est vrai ou
faux ? Faut-il en conclure que la science que l'on a bâtit et que les
conclusions qu'on en tire sont fausses ?
euh, tu mélange tout.
Par définition, un postulat ne se démontre pas: c'est une base admise,
formant avec d'autre un système formel. Tout ce qu'on lui demande est de
ne pas entrainer de contradiction dans ce système.
alors qu'une conjecture est une affirmation en attente de demonstration
(ou de contre-exemple). Dans un système formel donné certaines sont
vraies, certaines sont fausses,  certaines sont indécidables.
Post by Emphyrio
Faut-il se résoudre à rejeter l'ensemble de la science ainsi construite
on parle ici uniquement de maths.
par ailleurs les différents systèmes formels des maths sont basés sur
extrêmement peu de postulats, dont tu jugerais la plupart totalement
évidents (mais pas tous).
Post by Emphyrio
On conçoit que très vite on peut être amené à construire une science
certes auto-cohérente mais qui n'est qu'une figuration très
approximativement du réel
encore une fois, on parle ici de maths et non de sciences. Les maths
sont un monde clos. C'est juste que quand la science passe par des
modèles mathématisés, on peut réutiliser le langage des maths.
Mais les maths qu'on utilise pour la physique n'ont rien a voir avec les
maths pures échevelées qui conduisent a des indécidables ou qui
nécessites des postulats exotiques.
Est ce que la charte dit qu'on doit parler de mathématiques purs et
d'ailleurs où est la limite entre sciences et mathématiques ?
Je ne pense pas que Robby distinguait les mathématiques et la science.
Du moins, je n'ai pas compris celà en le lisant.

Les mathématiques font partie des sciences formelles, c'est-à-dire
un ensemble structurée de connaissances et de savoir formels.
Cependant, ces connaissances et ces savoirs, puisque formels, ne
s'appuient sur aucune réalité.

Les mathématiques appliquées sont les mathématiques qui servent aux
autres disciplines scientifiques non formelles, qui, elles, se
fondent à partir de principes déduit par inférence sur l'observation
et l'expérimentation dans le monde réel. Ces mathématiques sont
utiles afin de modéliser des objets réels.

A plus,
--
Bruno Ducrot

A quoi ca sert que Ducrot hisse des carcasses ?
dragonball
2018-05-24 19:12:17 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Bruno Ducrot
Post by dragonball
Post by robby
Post by Emphyrio
On sait que toute science repose sur un certains nombre d'axiomes,
postulats et autres conjectures... Qu'arrive-t-il lorsqu'il est
impossible de démontrer qu'un postulat ou une conjecture est vrai ou
faux ? Faut-il en conclure que la science que l'on a bâtit et que les
conclusions qu'on en tire sont fausses ?
euh, tu mélange tout.
Par définition, un postulat ne se démontre pas: c'est une base admise,
formant avec d'autre un système formel. Tout ce qu'on lui demande est de
ne pas entrainer de contradiction dans ce système.
alors qu'une conjecture est une affirmation en attente de demonstration
(ou de contre-exemple). Dans un système formel donné certaines sont
vraies, certaines sont fausses,  certaines sont indécidables.
Post by Emphyrio
Faut-il se résoudre à rejeter l'ensemble de la science ainsi construite
on parle ici uniquement de maths.
par ailleurs les différents systèmes formels des maths sont basés sur
extrêmement peu de postulats, dont tu jugerais la plupart totalement
évidents (mais pas tous).
Post by Emphyrio
On conçoit que très vite on peut être amené à construire une science
certes auto-cohérente mais qui n'est qu'une figuration très
approximativement du réel
encore une fois, on parle ici de maths et non de sciences. Les maths
sont un monde clos. C'est juste que quand la science passe par des
modèles mathématisés, on peut réutiliser le langage des maths.
Mais les maths qu'on utilise pour la physique n'ont rien a voir avec les
maths pures échevelées qui conduisent a des indécidables ou qui
nécessites des postulats exotiques.
Est ce que la charte dit qu'on doit parler de mathématiques purs et
d'ailleurs où est la limite entre sciences et mathématiques ?
Je ne pense pas que Robby distinguait les mathématiques et la science.
Du moins, je n'ai pas compris celà en le lisant.
Les mathématiques font partie des sciences formelles, c'est-à-dire
un ensemble structurée de connaissances et de savoir formels.
Cependant, ces connaissances et ces savoirs, puisque formels, ne
s'appuient sur aucune réalité.
Les mathématiques appliquées sont les mathématiques qui servent aux
autres disciplines scientifiques non formelles, qui, elles, se
fondent à partir de principes déduit par inférence sur l'observation
et l'expérimentation dans le monde réel. Ces mathématiques sont
utiles afin de modéliser des objets réels.
A plus,
Ben oui c'est ce que je pense aussi j'avoue que sa réponse m'a laissé
assez perplexe... D'où ma remarque sur la limite entre la science et les
mathématiques purs.... Pour moi les maths sont déjà une science :)
robby
2018-05-25 08:55:46 UTC
Permalink
Raw Message
FU2 math+physique, - zet.
Post by dragonball
Pour moi les maths sont déjà une science :)
Le débat est vieux et la réponse est classique: les maths ne sont
(majoritairement) pas une science (en un sens classique de ce mot).
Du moins il y a des différences essentielles:

- les maths partent d'axiomes arbitraires, et il existe d'ailleur des
systèmes contradictoires les uns aux autres (par ex en choisissant soit
un axiome soit son contraire: ex, axiome du choix).
- les maths donnent des preuves 100% certaines et definitives. (sauf faute).
- les maths parlent d'elles-memes, et pas (directement) du monde.

- la physique parle du monde.
- Et c'est le monde qui valide: les preuves sont apportée en
interrogeant "l'oracle du reel" au travers de protocoles experimentaux.
- les modèles sont approximatifs et provisoires. idem pour les preuves
(expérimentales).
- meme s'il existe plusieurs facettes (ondulatoire vs particules) et
plusieurs niveaux (meca stat vs fluides continus) et plusieurs degrés de
précision (newton vs relativité) il n'existe qu'une physique puisqu'on
parle du meme monde: l'objectif ideal a terme est d'unifier toutes les
théories.


bref, les maths sont avant tout un langage de la pensée: le dernier
avatar de la logique, incorporant le quantitatif, et poussé dans la plus
grande rigueur (laquelle n'est survenue en math qu'assez tardivement, en
fait: ça date du XXieme siecle et des Bourbakistes).
Ce langage va meme jusqu'a parler de lui-meme au sens propre, d'ailleur:
les fameux indécidables sont souvent batis sur des propositions
autoréférantes (qui n'existent qu'en math ou en logique , pas en physique).


La physique pourrait en principe se faire sans maths ni numérisation,
mais la physique puissante a besoin de quantifiables (parametres et
mesures) et d'outils mathematiques, simples (algebre, geometrie,
equadiffs) ou complexes (tenseurs, algebre de Lie, et j'en passe). Elle
est donc utilisatrice du langage que sont les maths.
ça ne veut pas dire pour autant qu'elle est contaminée par les limites
exotiques internes aux maths pures (inclusions infinies, paradoxes genre
"ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux meme", et
j'en passe), comme aimeraient le prouver relativistes, croyants du
paranormal et anti-sciences en tout genre.

Par ailleur je ne vois pas ce que serait un indécidable en physique,
sauf peut-etre un élément de théorie non vérifiable par
l'expérimentation, ce que Popper défini comme non scientifique.
--
Fabrice
robby
2018-05-25 08:42:47 UTC
Permalink
Raw Message
Post by dragonball
Est ce que la charte dit qu'on doit parler de mathématiques purs et
d'ailleurs où est la limite entre sciences et mathématiques ?
je ne vois pas le rapport avec la charte, et je ne dis en rien qu'on
doive ne parler que de mathématiques pures.

Par contre je pense savoir a peu pres où MA veut en venir avec son laïus
à la trame classique: motiver un relativisme à l'encontre des sciences
(physique, biologie, etc) sur la base de ce qu'on peut dire (ou croit
pouvoir dire) des limites des maths (indécidables, axiomes arbitraires,
postulats parfois erronnés).

C'est pourquoi, a côter de préciser les choses côté maths, je tiens a
tracer la frontière étanche entre ses propos et les sciences (physique,
bio, etc).
Post by dragonball
Pour moi les maths sont déjà une science :)
voir post suivant.
--
Fabrice
dragonball
2018-05-25 16:14:33 UTC
Permalink
Raw Message
Post by dragonball
Est ce que la charte dit qu'on doit parler de mathématiques purs et
d'ailleurs où est la limite entre sciences et mathématiques ?
je ne vois pas le rapport avec la charte, et je ne dis en rien  qu'on
doive ne parler que de mathématiques pures.
Par contre je pense savoir a peu pres où MA veut en venir avec son laïus
à la trame classique: motiver un relativisme à l'encontre des sciences
(physique, biologie, etc) sur la base de ce qu'on peut dire (ou croit
pouvoir dire) des limites des maths (indécidables, axiomes arbitraires,
postulats parfois erronnés).
C'est pourquoi, a côter de préciser les choses côté maths, je tiens a
tracer la frontière étanche entre ses propos et les sciences (physique,
bio, etc).
Post by dragonball
  Pour moi les maths sont déjà une science :)
voir post suivant.
J'ai fait la remarque sur la charte car j'ai été étonné de ta
réaction.... Vu sous cet angle... J'ai du mal comprendre ou prendre la
remarque au 1er degré....

Olivier Miakinen
2018-05-24 23:23:17 UTC
Permalink
Raw Message
[suivi positionné vers fr.sci.maths seul]
Post by Emphyrio
Supposons que je décide de postuler à l'instar de Bertrand qui affirma
qu'il y a toujours un nombre premier entre un entier n et 2n (démontré
par la suite), qu'il en va de même entre n et (4/3)n lorsque n > 8 ?.
C'est-à-dire que tu postules que l'on peut fixer ϵ = 1/3 = 0,33333...
et ξ = 9 dans la généralisation suivante :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Postulat_de_Bertrand#R%C3%A9sultats_d%C3%A9riv%C3%A9s_de_la_d%C3%A9monstration_de_Tchebychev
Post by Emphyrio
Est-il possible de démontrer simplement que mon postulat matinal est
faux ou bien alors puisqu'il semble faire mieux que celui de Bertrand
est-il digne d'entrer dans les livres histoire ?
Il faudrait vérifier que l'on a effectivement ξ = 9 dans le cas que tu
proposes. Cela mis à part, le résultat a déjà été prouvé avec des ϵ
plus petits que le tien : 0,2 en 1850, puis 0,16688 en 1881, ensuite
0,092 en 1891-1892, et si j'ai bien compris on a prouvé en 1899 que
c'était vrai pour tout ϵ > 0, aussi petit soit-il. Bien entendu c'est
pour des ξ de plus en plus grands, mais toujours finis.

Du coup :

1) Si ta conjecture est fausse, c'est théoriquement prouvable en un
temps fini, lorsqu'on trouvera le premier x supérieur à 9 qui la
contredit.

2) Si au contraire elle est vraie, tu devrais commencer par chercher
si elle ne fait pas partie des résultats qui ont déjà été prouvés
à la fin du XIXe siècle, ou plus tard.
Post by Emphyrio
On sait que toute science repose sur un certains nombre d'axiomes,
postulats et autres conjectures... Qu'arrive-t-il lorsqu'il est
impossible de démontrer qu'un postulat ou une conjecture est vrai ou
faux ?
On parle de maths, n'est-ce-pas, et pas d'une science expérimentale
censée dire ce qui est « vrai » dans notre monde physique ? Si oui,
il est déjà arrivé plus d'une fois que l'on sache prouver qu'un
énoncé donné est indécidable dans un système d'axiomes donné,
c'est-à-dire qu'il ne peut être ni prouvé ni réfuté. Dans ce cas, on
peut choisir d'ajouter au système soit cet énoncé, soit sa négation,
sans rendre le système inconsistant.
Post by Emphyrio
Faut-il en conclure que la science que l'on a bâtit et que les
conclusions qu'on en tire sont fausses ?
Donc non, mais j'ai bien l'impression que tu es en train de confondre
résultats mathématiques et théories physiques. D'ailleurs j'en ai la
Post by Emphyrio
[...] construire une science certes auto-cohérente [...] figuration très
approximativement du réel [...] compréhension de la vraie nature du réel.
Cordialement,
--
Olivier Miakinen
Loading...